描述 Description

扔一个k面的骰子，扔出连续n个任意数字所需的平均次数？

例如扔一个六面的骰子，平均扔多少次能连续扔出三个相同的数字？

Suppose that independent trials, each of which is equally likely to have any of 6 possible outcomes, are performed until the same outcome occurs 3 consecutive times. If N denotes the number of trials. What is E[N]?

[问题描述-知乎]

分析 Analysis

1 扔一个六面的骰子，平均扔多少次能连续扔出n个相同的数字？

记 $T\_n$ 表示连续出现 $n$ 个任意数字所需实验次数， $A\_{n-1,n}$ 表示连续出现 $n-1$ 个任意数字到连续出现 $n$ 个任意数字所需实验次数。有

$T\_n=T\_{n-1}+A\_{n-1,n}$ 。

对上式取期望值有：

$\mathbb{E}\[T\_n\]=\mathbb{E}\[T\_{n-1}\]+\mathbb{E}\[A\_{n-1,n}\]$ ,

其中

$\mathbb{E}\[A\_{n-1,n}\]=\frac{1}{6}\times 1+\frac{5}{6}\mathbb{E}\[T\_n\]$ .

化简式子得差分方程：

$\mathbb{E}\[T\_n\]=6\times\mathbb{E}\[T\_{n-1}\]+1$ 。

结合边界条件 $\mathbb{E}\[T\_1\]=1$ ，解得

$\mathbb{E}\[T\_n\]=\frac{1}{5} \left$6^n-1\right$$

Note: 根据差分方程 $\mathbb{E}\[T\_n\]=6\times\mathbb{E}\[T\_{n-1}\]+1$ ，待定系数[数列递推公式求通项公式的方法]得

xn + m= 6 (x_n-1 + m) m = 1/5

=> x_n + 1/5= 6^n-1 * (x_1 + 1/5)

=> xn = $\mathbb{E}[T_n]=\frac{1}{5} \left(6^n-1\right)$

更快可以使用特征方程法[特征方程法]

2 扔一个六面的骰子，平均扔多少次能连续扔出三个相同的数字？

3 一般地，扔一个k面的骰子，扔出连续n个任意数字所需的平均次数?

$\sum\_{i=1}^n k^{i-1}=\frac{k^n-1}{k-1}$

代码 Code

模拟

Sample[a_, b_, c_, Count_] := Block[{},
   If[And[a == b, b == c], Return[Count], 
    Sample[b, c, RandomChoice[{1, 2, 3, 4, 5, 6}], Count + 1]]
   ];
Mean[Table[
   Sample[RandomChoice[{1, 2, 3, 4, 5, 6}], 
    RandomChoice[{1, 2, 3, 4, 5, 6}], 
    RandomChoice[{1, 2, 3, 4, 5, 6}], 3], {i, 1, 20000}]] // N

掷筛子

描述 Description

分析 Analysis

代码 Code

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